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18.950 2005春季課程：微分幾何學(Differential Geometry, Spring 2005)

The Gauss-Bonnet theorem for compact orientable surfaces. (Image by Dr. Neshan Wickramasekera.)

課程重點

This course features a set of readings, as well as a full set of assignments.

課程描述

This course is an introduction to differential geometry of curves and surfaces in three dimensional Euclidean space. First and second fundamental forms, Gaussian and mean curvature, parallel transport, geodesics, Gauss-Bonnet theorem, complete surfaces, minimal surfaces and Bernstein's theorem are among the main topics studied.

師資

Neshan Wickramasekera 博士

教科書

Do Carmo, Manfredo《曲線和曲面的微分幾何》，Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall，1976年2月1日，ISBN:0132125897。

（譯者注：該書有中文簡體譯版：田疇，忻元龍，姜國英，彭家貴，潘養廉譯；機械工業出版社，２００４－１２－２９

Prerequisite

Analysis I (18.100B)

Recommended

Analysis II (18.101), Introduction to Topology (18.901) would also be helpful.

Text

Do Carmo, Manfredo. Differential Geometry of Curves and Surfaces. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, February 1, 1976. ISBN: 0132125897.

Exams

There were 3 in-class, 50-minute exams, and no final.

Homework counted for approximately 50% of the grade, and the exams for approximately 50%. In a nutshell:

Homework 50%
Exams 50%

Course calendar. 課 課程單元 重要日期
1 複習賦距空間(或度量空間)
Review of Metric Spaces

2 收縮映射定理
Contraction Mapping Theorem

Existence and Uniqueness of Solutions to ODE's

3 正則曲線
Regular Curves

Arc Length Parametrization

4 曲線的局部定理：存在性和唯一性
Local Theory of Curves: Existence and Uniqueness

Assignment 1 due
5 局部規範形式
Local Cannonical Form

6 等周不等式和四頂點定理
The Isoperimetric Inequality and the Four Vertex Theorem

7 反函數與隱函數定理
Inverse and Implicit Functio下午 10:34 2008/10/18n Theorems

8 正則曲面
Regular Surfaces

Inverse Images of Regular Values

Assignment 2 due
9 参數變換
Change of Parameters

Differentials

Tangent Plane

10 第一基本形式
First Fundamental Form

Orientation

11 高斯映射
Gauss Map

Second Fundamental Form

Gaussian and Mean Curvature

12 一小時測驗一
Hour Exam 1

Assignment 3 due
13 臍點
Umbilical Points

14-15 局部座標下的高斯映射
Gauss Map in Local Coordinates

16 高斯曲率和曲面的局部性質
Gaussian Curvature and the Local Nature of a Surface

Assignment 4 due
17 極小曲面
Minimal Surfaces

First Variation of Area

18-20 極小圖的Bernstein定理
Bernstein's Theorem for Minimal Graphs

Assignment 5 due
21 一些有關諧和函數的結果

Assignment 6 due
22 保距映射
Isometries

Conformal Maps

23 一小時測驗二
Hour Exam 2

24 高斯方程式和 Codazzi-Mainardi方
Gauss and Codazzi-Mainardi Equations

Theorema Egregium

25-26 向量場
Vector Fields

Orthogonal and Lines-of-Curvature Parametrizations

Assignment 7 due
27 球面的剛體性質
Rigidity of the Sphere

28-29 平行移動
Parallel Transport

Geodesics

Geodesic Curvature

Assignment 8 due
30-31 Gauss-Bonnet定理及其應用
Gauss-Bonnet Theorem and its Applications

32 Morse定理
Morse's Theorem

The Exponential Map

33 測地極座標
Geodesic Polar Coordinates

Assignment 9 due
34 凸鄰域
Convex Neighborhoods

35 完備曲面
Complete Surfaces

Hopf-Rinow定理
Hopf-Rinow Theorem

36 一小時測驗三
Hour Exam 3

37 弧長的第一和第二變分
First and Second Variation of Arc Length

Bonnet定理
Bonnet's Theorem

38 抽象曲面
Abstract Surfaces

Assignment 10 due

Homework is assigned from the required textbook: Do Carmo, Manfredo. Differential Geometry of Curves and Surfaces. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, February 1, 1976. ISBN: 0132125897, as well as from the handouts found in the readings section. These are due in the sessions noted in the table.

Assignment files. 課 作業
4 作業一 (PDF)
8 作業二 (PDF)
12 作業三 (PDF)
16 作業四 (PDF 1) (PDF 2)
19 作業五 (PDF)
21 作業六 (PDF)
25-26 作業七 (PDF)
29 作業八 (PDF)
33 作業九 (PDF)
38 作業十 (PDF)

「開放式學習支援網」(Open Learning Support, 簡稱OLS)是一個著眼著眼於建立「社群軟體」的研究計劃，讓非正規學習社群利用現存公開的教材而組織起來。OLS基本前提是完整的教育機會必須讓使用者能夠與能解答其問題或提供支援的其他人建立起溝通管道。贊助者一般只能提供免費開放的網頁教材，但很難提供這樣的社群管道。社群支援必須由其他使用者提供。因此，OLS是：

「開放式學習支援網」是由The William and Flora Hewlett 基金會贊助提供。

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