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課程來源:MIT
     

18.950 2005春季課程:微分幾何學(Differential Geometry, Spring 2005)

 

翻譯:賴振頤
編輯:陳玉侖 陳盈 

 


The Gauss-Bonnet theorem.
在緊致可定向的曲面上的Gauss-Bonnet定理(感謝Dr. Neshan Wickramasekera 的提供圖片)
The Gauss-Bonnet theorem for compact orientable surfaces. (Image by Dr. Neshan Wickramasekera.)

課程重點

本課程包含一系列的相關閱讀資料和完整的作業集

This course features a set of readings, as well as a full set of assignments.

課程描述

此課程介紹了三維歐氏空間上,曲線和曲面的微分幾何。內容涵蓋了第一和第二基本形式、高斯曲率(Gaussian curvature)和平均曲率、平行移動、測地線、Gauss-Bonnet定理(Gauss-Bonnet theorem)、完備曲面、極小曲面和Bernstein定理(Bernstein's theorem)等。

This course is an introduction to differential geometry of curves and surfaces in three dimensional Euclidean space. First and second fundamental forms, Gaussian and mean curvature, parallel transport, geodesics, Gauss-Bonnet theorem, complete surfaces, minimal surfaces and Bernstein's theorem are among the main topics studied.

師資

講師:
Neshan Wickramasekera 博士

上課時數

教師授課:
每週3節
每節1小時

程度

大學部

回應

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聲明

麻省理工學院開放式課程認可 開放式課程計畫(OOPS)的翻譯計畫,開放式課程計畫(OOPS)乃是運用其獨立團隊、獨立資源、獨立流程進行翻譯計畫之團隊。

所有麻省理工學院開放式課程之材料皆以麻省理工學院開放式課程創作共享授權發佈,所有之翻譯資料皆由開放式課程計畫(OOPS)所提供,並由其負翻譯品質之責任。

此處麻省理工學院開放式課程之資料乃由 開放式課程計畫(OOPS)譯為正體中文。麻省理工學院開放式課程在此聲明,不論是否遭遇或發現相關議題,麻省理工學院開放式課程、麻省理工學院教師、麻省理工學院校方並不對翻譯正確度及完整性作保證。上述單位並對翻譯後之資料不作明示或默章鴷穭@特定目的之適合性之保證、非侵權之保證、或永不出錯之保證。麻省理工學院校方、麻省理工學院開放式課程對翻譯上之不正確不負任何責任。由翻譯所引發任何關於此等資料之不正確或其他瑕疵,皆由開放式課程計畫(OOPS)負全責,而非麻省理工學院開放式課程之責。

原文聲明

 

先修課程

分析I (18.100B)

建議先修課程

分析II (18.101),和拓樸概論(18.901)兩堂課也有所助益。

教科書

Do Carmo, Manfredo《曲線和曲面的微分幾何》,Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall,1976年2月1日,ISBN:0132125897。

(譯者注:該書有中文簡體譯版:田疇,忻元龍,姜國英,彭家貴,潘養廉譯;機械工業出版社,2004-12-29

測驗

三次課堂考試,五十分鐘,沒有期末考。

計分

作業計分將佔百分之五十,考試佔百分之五十。簡明地說:


Grading table. 活動 百分比
作業 50%
測驗 50%


Prerequisite

Analysis I (18.100B)

Recommended

Analysis II (18.101), Introduction to Topology (18.901) would also be helpful.

Text

Do Carmo, Manfredo. Differential Geometry of Curves and Surfaces. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, February 1, 1976. ISBN: 0132125897.

Exams

There were 3 in-class, 50-minute exams, and no final.

Grading

Homework counted for approximately 50% of the grade, and the exams for approximately 50%. In a nutshell:


Grading table. Activities percentages
Homework 50%
Exams 50%

Course calendar. 課 課程單元 重要日期
1 複習賦距空間(或度量空間)
Review of Metric Spaces
 
2 收縮映射定理
Contraction Mapping Theorem

常微分方程解的存在性和唯一性
Existence and Uniqueness of Solutions to ODE's
 
3 正則曲線
Regular Curves

弧長的参數化
Arc Length Parametrization
 
4 曲線的局部定理:存在性和唯一性
Local Theory of Curves: Existence and Uniqueness
繳交作業一
Assignment 1 due
5 局部規範形式
Local Cannonical Form
 
6 等周不等式和四頂點定理
The Isoperimetric Inequality and the Four Vertex Theorem
 
7 反函數與隱函數定理
Inverse and Implicit Functio下午 10:34 2008/10/18n Theorems
 
8 正則曲面
Regular Surfaces

正則值的反映射
Inverse Images of Regular Values
繳交作業二
Assignment 2 due
9 参數變換
Change of Parameters

微分
Differentials

切平面
Tangent Plane
 
10 第一基本形式
First Fundamental Form

定向
Orientation
 
11 高斯映射
Gauss Map

第二基本形式
Second Fundamental Form

高斯曲率和平均曲率
Gaussian and Mean Curvature
 
12 一小時測驗一
Hour Exam 1
繳交作業三
Assignment 3 due
13 臍點
Umbilical Points
 
14-15 局部座標下的高斯映射
Gauss Map in Local Coordinates
 
16 高斯曲率和曲面的局部性質
Gaussian Curvature and the Local Nature of a Surface
繳交作業四
Assignment 4 due
17 極小曲面
Minimal Surfaces

面積的第一變分
First Variation of Area
 
18-20 極小圖的Bernstein定理
Bernstein's Theorem for Minimal Graphs
繳交作業五
Assignment 5 due
21 一些有關諧和函數的結果
Some Facts about Harmonic Functions
繳交作業六
Assignment 6 due
22 保距映射
Isometries

保角映射
Conformal Maps
 
23 一小時測驗二
Hour Exam 2
 
24 高斯方程式和 Codazzi-Mainardi方
Gauss and Codazzi-Mainardi Equations


Theorema Egregium
 
25-26 向量場
Vector Fields

正交和曲率線的参數化
Orthogonal and Lines-of-Curvature Parametrizations
繳交作業七
Assignment 7 due
27 球面的剛體性質
Rigidity of the Sphere
 
28-29 平行移動
Parallel Transport

測地線
Geodesics

測地線曲率
Geodesic Curvature
繳交作業八
Assignment 8 due
30-31 Gauss-Bonnet定理及其應用
Gauss-Bonnet Theorem and its Applications
 
32 Morse定理
Morse's Theorem

指數映射
The Exponential Map
 
33 測地極座標
Geodesic Polar Coordinates
繳交作業九
Assignment 9 due
34 凸鄰域
Convex Neighborhoods
 
35 完備曲面
Complete Surfaces

Hopf-Rinow定理
Hopf-Rinow Theorem
 
36 一小時測驗三
Hour Exam 3
 
37 弧長的第一和第二變分
First and Second Variation of Arc Length

Bonnet定理
Bonnet's Theorem
 
38 抽象曲面
Abstract Surfaces
繳交作業十
Assignment 10 due

作業出自教科書的習題:Do Carmo, Manfredo. 《曲線和曲面的微分幾何》. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall,1976年2月1日,ISBN: 0132125897。以及相關閱讀資料的講義內容中,作業繳交日期註記在表格中。
Homework is assigned from the required textbook: Do Carmo, Manfredo. Differential Geometry of Curves and Surfaces. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, February 1, 1976. ISBN: 0132125897, as well as from the handouts found in the readings section. These are due in the sessions noted in the table.


Assignment files. 課 作業
4 作業一 (PDF)
8 作業二 (PDF)
12 作業三 (PDF)
16 作業四 (PDF 1) (PDF 2)
19 作業五 (PDF)
21 作業六 (PDF)
25-26 作業七 (PDF)
29 作業八 (PDF)
33 作業九 (PDF)
38 作業十 (PDF)

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「開放式學習支援網」(Open Learning Support, 簡稱OLS)是一個著眼著眼於建立「社群軟體」的研究計劃,讓非正規學習社群利用現存公開的教材而組織起來。OLS基本前提是完整的教育機會必須讓使用者能夠與能解答其問題或提供支援的其他人建立起溝通管道。贊助者一般只能提供免費開放的網頁教材,但很難提供這樣的社群管道。社群支援必須由其他使用者提供。因此,OLS是:

在麻省理工「開放式課程網頁」以外獨立運作的。
需要使用者註冊並登入才能參與的。
並不頒授任何學位或文憑的計劃。
不提供與麻省理工或猶他州立大學教職人員直接連繫的管道。

馬上來本課程《18.950 微分幾何學》的討論群組看看吧。

「開放式學習支援網」是由The William and Flora Hewlett 基金會贊助提供。


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