18.950 2005春季課程:微分幾何學(Differential Geometry, Spring 2005)
翻譯:賴振頤
編輯:陳玉侖 陳盈

The Gauss-Bonnet theorem for compact orientable surfaces. (Image by Dr. Neshan Wickramasekera.)
課程重點
This course features a set of readings, as well as a full set of assignments.
課程描述
This course is an introduction to differential geometry of curves and surfaces in three dimensional Euclidean space. First and second fundamental forms, Gaussian and mean curvature, parallel transport, geodesics, Gauss-Bonnet theorem, complete surfaces, minimal surfaces and Bernstein's theorem are among the main topics studied.
師資
Neshan Wickramasekera 博士
上課時數
每週3節
每節1小時
程度
回應
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聲明
麻省理工學院開放式課程認可 開放式課程計畫(OOPS)的翻譯計畫,開放式課程計畫(OOPS)乃是運用其獨立團隊、獨立資源、獨立流程進行翻譯計畫之團隊。
所有麻省理工學院開放式課程之材料皆以麻省理工學院開放式課程創作共享授權發佈,所有之翻譯資料皆由開放式課程計畫(OOPS)所提供,並由其負翻譯品質之責任。
此處麻省理工學院開放式課程之資料乃由 開放式課程計畫(OOPS)譯為正體中文。麻省理工學院開放式課程在此聲明,不論是否遭遇或發現相關議題,麻省理工學院開放式課程、麻省理工學院教師、麻省理工學院校方並不對翻譯正確度及完整性作保證。上述單位並對翻譯後之資料不作明示或默章鴷穭@特定目的之適合性之保證、非侵權之保證、或永不出錯之保證。麻省理工學院校方、麻省理工學院開放式課程對翻譯上之不正確不負任何責任。由翻譯所引發任何關於此等資料之不正確或其他瑕疵,皆由開放式課程計畫(OOPS)負全責,而非麻省理工學院開放式課程之責。
原文聲明
先修課程
分析I (18.100B)
建議先修課程
分析II (18.101),和拓樸概論(18.901)兩堂課也有所助益。
教科書
Do Carmo, Manfredo《曲線和曲面的微分幾何》,Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall,1976年2月1日,ISBN:0132125897。
(譯者注:該書有中文簡體譯版:田疇,忻元龍,姜國英,彭家貴,潘養廉譯;機械工業出版社,2004-12-29測驗
三次課堂考試,五十分鐘,沒有期末考。
計分
作業計分將佔百分之五十,考試佔百分之五十。簡明地說:
作業 | 50% |
測驗 | 50% |
Prerequisite
Analysis I (18.100B)
Recommended
Analysis II (18.101), Introduction to Topology (18.901) would also be helpful.
Text
Do Carmo, Manfredo. Differential Geometry of Curves and Surfaces. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, February 1, 1976. ISBN: 0132125897.
Exams
There were 3 in-class, 50-minute exams, and no final.
Grading
Homework counted for approximately 50% of the grade, and the exams for approximately 50%. In a nutshell:
Homework | 50% |
Exams | 50% |
1 | 複習賦距空間(或度量空間) Review of Metric Spaces |
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2 | 收縮映射定理 Contraction Mapping Theorem 常微分方程解的存在性和唯一性 Existence and Uniqueness of Solutions to ODE's |
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3 | 正則曲線 Regular Curves 弧長的参數化 Arc Length Parametrization |
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4 | 曲線的局部定理:存在性和唯一性 Local Theory of Curves: Existence and Uniqueness |
繳交作業一 Assignment 1 due |
5 | 局部規範形式 Local Cannonical Form |
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6 | 等周不等式和四頂點定理 The Isoperimetric Inequality and the Four Vertex Theorem |
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7 | 反函數與隱函數定理 Inverse and Implicit Functio下午 10:34 2008/10/18n Theorems |
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8 | 正則曲面 Regular Surfaces 正則值的反映射 Inverse Images of Regular Values |
繳交作業二 Assignment 2 due |
9 | 参數變換 Change of Parameters 微分 Differentials 切平面 Tangent Plane |
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10 | 第一基本形式 First Fundamental Form 定向 Orientation |
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11 | 高斯映射 Gauss Map 第二基本形式 Second Fundamental Form 高斯曲率和平均曲率 Gaussian and Mean Curvature |
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12 | 一小時測驗一 Hour Exam 1 |
繳交作業三 Assignment 3 due |
13 | 臍點 Umbilical Points |
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14-15 | 局部座標下的高斯映射 Gauss Map in Local Coordinates |
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16 | 高斯曲率和曲面的局部性質 Gaussian Curvature and the Local Nature of a Surface |
繳交作業四 Assignment 4 due |
17 | 極小曲面 Minimal Surfaces 面積的第一變分 First Variation of Area |
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18-20 | 極小圖的Bernstein定理 Bernstein's Theorem for Minimal Graphs |
繳交作業五 Assignment 5 due |
21 | 一些有關諧和函數的結果 Some Facts about Harmonic Functions |
繳交作業六 Assignment 6 due |
22 | 保距映射 Isometries 保角映射 Conformal Maps |
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23 | 一小時測驗二 Hour Exam 2 |
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24 | 高斯方程式和 Codazzi-Mainardi方 Gauss and Codazzi-Mainardi Equations Theorema Egregium |
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25-26 | 向量場 Vector Fields 正交和曲率線的参數化 Orthogonal and Lines-of-Curvature Parametrizations |
繳交作業七 Assignment 7 due |
27 | 球面的剛體性質 Rigidity of the Sphere |
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28-29 | 平行移動 Parallel Transport 測地線 Geodesics 測地線曲率 Geodesic Curvature |
繳交作業八 Assignment 8 due |
30-31 | Gauss-Bonnet定理及其應用 Gauss-Bonnet Theorem and its Applications |
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32 | Morse定理 Morse's Theorem 指數映射 The Exponential Map |
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33 | 測地極座標 Geodesic Polar Coordinates |
繳交作業九 Assignment 9 due |
34 | 凸鄰域 Convex Neighborhoods |
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35 | 完備曲面 Complete Surfaces Hopf-Rinow定理 Hopf-Rinow Theorem |
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36 | 一小時測驗三 Hour Exam 3 |
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37 | 弧長的第一和第二變分 First and Second Variation of Arc Length Bonnet定理 Bonnet's Theorem |
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38 | 抽象曲面 Abstract Surfaces |
繳交作業十 Assignment 10 due |
作業出自教科書的習題:Do Carmo, Manfredo. 《曲線和曲面的微分幾何》. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall,1976年2月1日,ISBN: 0132125897。以及相關閱讀資料的講義內容中,作業繳交日期註記在表格中。
Homework is assigned from the required textbook: Do Carmo, Manfredo. Differential Geometry of Curves and Surfaces. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, February 1, 1976. ISBN: 0132125897, as well as from the handouts found in the readings section. These are due in the sessions noted in the table.
4 | 作業一 (PDF) |
8 | 作業二 (PDF) |
12 | 作業三 (PDF) |
16 | 作業四 (PDF 1) (PDF 2) |
19 | 作業五 (PDF) |
21 | 作業六 (PDF) |
25-26 | 作業七 (PDF) |
29 | 作業八 (PDF) |
33 | 作業九 (PDF) |
38 | 作業十 (PDF) |
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