課程來源：MIT

18.950 2005春季課程：微分幾何學(Differential Geometry, Spring 2005)

翻譯：賴振頤
編輯：陳玉侖陳盈

在緊致可定向的曲面上的Gauss-Bonnet定理（感謝Dr. Neshan Wickramasekera　的提供圖片）
The Gauss-Bonnet theorem for compact orientable surfaces. (Image by Dr. Neshan Wickramasekera.)

課程重點

本課程包含一系列的相關閱讀資料和完整的作業集。

This course features a set of readings, as well as a full set of assignments.

課程描述

此課程介紹了三維歐氏空間上，曲線和曲面的微分幾何。內容涵蓋了第一和第二基本形式、高斯曲率（Gaussian curvature）和平均曲率、平行移動、測地線、Gauss-Bonnet定理（Gauss-Bonnet theorem）、完備曲面、極小曲面和Bernstein定理（Bernstein's theorem）等。

This course is an introduction to differential geometry of curves and surfaces in three dimensional Euclidean space. First and second fundamental forms, Gaussian and mean curvature, parallel transport, geodesics, Gauss-Bonnet theorem, complete surfaces, minimal surfaces and Bernstein's theorem are among the main topics studied.

師資

講師：
Neshan Wickramasekera 博士

上課時數

教師授課：
每週3節
每節1小時

程度

大學部

回應

告訴我們您對本課程或「開放式課程網頁」的建議。

聲明

麻省理工學院開放式課程認可開放式課程計畫（OOPS）的翻譯計畫，開放式課程計畫（OOPS）乃是運用其獨立團隊、獨立資源、獨立流程進行翻譯計畫之團隊。

所有麻省理工學院開放式課程之材料皆以麻省理工學院開放式課程創作共享授權發佈，所有之翻譯資料皆由開放式課程計畫（OOPS）所提供，並由其負翻譯品質之責任。

此處麻省理工學院開放式課程之資料乃由開放式課程計畫（OOPS）譯為正體中文。麻省理工學院開放式課程在此聲明，不論是否遭遇或發現相關議題，麻省理工學院開放式課程、麻省理工學院教師、麻省理工學院校方並不對翻譯正確度及完整性作保證。上述單位並對翻譯後之資料不作明示或默章鴷穭@特定目的之適合性之保證、非侵權之保證、或永不出錯之保證。麻省理工學院校方、麻省理工學院開放式課程對翻譯上之不正確不負任何責任。由翻譯所引發任何關於此等資料之不正確或其他瑕疵，皆由開放式課程計畫（OOPS）負全責，而非麻省理工學院開放式課程之責。

原文聲明

先修課程

分析I (18.100B)

建議先修課程

分析II (18.101)，和拓樸概論(18.901)兩堂課也有所助益。

教科書

Do Carmo, Manfredo《曲線和曲面的微分幾何》，Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall，1976年2月1日，ISBN:0132125897。

（譯者注：該書有中文簡體譯版：田疇，忻元龍，姜國英，彭家貴，潘養廉譯；機械工業出版社，２００４－１２－２９

測驗

三次課堂考試，五十分鐘，沒有期末考。

計分

作業計分將佔百分之五十，考試佔百分之五十。簡明地說：

Grading table. 活動百分比

作業	50%
測驗	50%

Prerequisite

Analysis I (18.100B)

Text

Do Carmo, Manfredo. Differential Geometry of Curves and Surfaces. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, February 1, 1976. ISBN: 0132125897.

Exams

There were 3 in-class, 50-minute exams, and no final.

Grading

Homework counted for approximately 50% of the grade, and the exams for approximately 50%. In a nutshell:

Grading table. Activities percentages

Homework	50%
Exams	50%

Course calendar. 課課程單元重要日期

1	複習賦距空間(或度量空間) Review of Metric Spaces
2	收縮映射定理 Contraction Mapping Theorem 常微分方程解的存在性和唯一性 Existence and Uniqueness of Solutions to ODE's
3	正則曲線 Regular Curves 弧長的参數化 Arc Length Parametrization
4	曲線的局部定理：存在性和唯一性 Local Theory of Curves: Existence and Uniqueness	繳交作業一 Assignment 1 due
5	局部規範形式 Local Cannonical Form
6	等周不等式和四頂點定理 The Isoperimetric Inequality and the Four Vertex Theorem
7	反函數與隱函數定理 Inverse and Implicit Functio下午 10:34 2008/10/18n Theorems
8	正則曲面 Regular Surfaces 正則值的反映射 Inverse Images of Regular Values	繳交作業二 Assignment 2 due
9	参數變換 Change of Parameters 微分 Differentials 切平面 Tangent Plane
10	第一基本形式 First Fundamental Form 定向 Orientation
11	高斯映射 Gauss Map 第二基本形式 Second Fundamental Form 高斯曲率和平均曲率 Gaussian and Mean Curvature
12	一小時測驗一 Hour Exam 1	繳交作業三 Assignment 3 due
13	臍點 Umbilical Points
14-15	局部座標下的高斯映射 Gauss Map in Local Coordinates
16	高斯曲率和曲面的局部性質 Gaussian Curvature and the Local Nature of a Surface	繳交作業四 Assignment 4 due
17	極小曲面 Minimal Surfaces 面積的第一變分 First Variation of Area
18-20	極小圖的Bernstein定理 Bernstein's Theorem for Minimal Graphs	繳交作業五 Assignment 5 due
21	一些有關諧和函數的結果 Some Facts about Harmonic Functions	繳交作業六 Assignment 6 due
22	保距映射 Isometries 保角映射 Conformal Maps
23	一小時測驗二 Hour Exam 2
24	高斯方程式和 Codazzi-Mainardi方 Gauss and Codazzi-Mainardi Equations Theorema Egregium
25-26	向量場 Vector Fields 正交和曲率線的参數化 Orthogonal and Lines-of-Curvature Parametrizations	繳交作業七 Assignment 7 due
27	球面的剛體性質 Rigidity of the Sphere
28-29	平行移動 Parallel Transport 測地線 Geodesics 測地線曲率 Geodesic Curvature	繳交作業八 Assignment 8 due
30-31	Gauss-Bonnet定理及其應用 Gauss-Bonnet Theorem and its Applications
32	Morse定理 Morse's Theorem 指數映射 The Exponential Map
33	測地極座標 Geodesic Polar Coordinates	繳交作業九 Assignment 9 due
34	凸鄰域 Convex Neighborhoods
35	完備曲面 Complete Surfaces Hopf-Rinow定理 Hopf-Rinow Theorem
36	一小時測驗三 Hour Exam 3
37	弧長的第一和第二變分 First and Second Variation of Arc Length Bonnet定理 Bonnet's Theorem
38	抽象曲面 Abstract Surfaces	繳交作業十 Assignment 10 due

作業出自教科書的習題：Do Carmo, Manfredo. 《曲線和曲面的微分幾何》. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall，1976年2月1日，ISBN: 0132125897。以及相關閱讀資料的講義內容中，作業繳交日期註記在表格中。
Homework is assigned from the required textbook: Do Carmo, Manfredo. Differential Geometry of Curves and Surfaces. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, February 1, 1976. ISBN: 0132125897, as well as from the handouts found in the readings section. These are due in the sessions noted in the table.

Assignment files. 課作業

4	作業一 (PDF)
8	作業二 (PDF)
12	作業三 (PDF)
16	作業四 (PDF 1) (PDF 2)
19	作業五 (PDF)
21	作業六 (PDF)
25-26	作業七 (PDF)
29	作業八 (PDF)
33	作業九 (PDF)
38	作業十 (PDF)

對「課程18.950：微分幾何學」這門課有興趣的教育家、學生和自學者們，歡迎來和其他應用這個教材學習或教課的人在這個討論群組上互動。

這個服務是由麻省理工學院開放式課程提供，由猶他州立大學教育科技系的「開放持續學習機會研究群」所管理。世界各地的獨立學員可以互相連繫、協同合作、組織學習小組，及就利用麻省理工「開放式課程網頁」教材資源於他們正規或非正規教育學習時得到支援。

「開放式學習支援網」(Open Learning Support, 簡稱OLS)是一個著眼著眼於建立「社群軟體」的研究計劃，讓非正規學習社群利用現存公開的教材而組織起來。OLS基本前提是完整的教育機會必須讓使用者能夠與能解答其問題或提供支援的其他人建立起溝通管道。贊助者一般只能提供免費開放的網頁教材，但很難提供這樣的社群管道。社群支援必須由其他使用者提供。因此，OLS是：

在麻省理工「開放式課程網頁」以外獨立運作的。

需要使用者註冊並登入才能參與的。

並不頒授任何學位或文憑的計劃。

不提供與麻省理工或猶他州立大學教職人員直接連繫的管道。

馬上來本課程《18.950 微分幾何學》的討論群組看看吧。

「開放式學習支援網」是由The William and Flora Hewlett 基金會贊助提供。

回應

告訴我們這些 .ZIP檔如何協助你進行教導與學習。

.ZIP檔案中的課程內容與「麻省理工開放式課程」所出版的材料一樣，必需依照創作共享理念授權同意書規範。

為了離線或窄頻使用者，「麻省理工開放式課程」免費提供了完整的課程檔案下載。「麻省理工開放式課程」永遠是免費開放的電子出版品，你的捐款將可以讓我們維持更高的出版品質，及提供免費下載.ZIP檔案。請閱讀本頁以了解如何在經濟上支援我們。「麻省理工開放式課程」檔案下載的文件內容與課程網頁版本相同，讓你在本機上就可以瀏覽OCW課程材料。

課程下載

18-950Spring-2005.zip

下載課程的方法

點擊上方的連結來並開始下載 .ZIP 檔案。

使用解壓縮軟體，像是WinZip或StuffIt來開啟.ZIP檔。解壓縮後，請依「麻省理工開放式課程」各課程內容需求，選用相應軟體來處理課程內容。你所下載的各課程首頁會列出所需軟體。

完成後，.ZIP即被下載並存放在你的電腦上。若已安裝解壓縮軟體，即可依軟體指示在電腦上開啟並將.ZIP檔案解開。

尋找並使用課程內容

開啟.ZIP並解壓縮後，就可使用瀏覽器開啟「麻省理工開放式課程」的html網頁。解壓後根目錄下的 Welcome.htm 檔案會將你導向該課程首頁。

.ZIP檔案中的課程內容與「麻省理工開放式課程」所出版的材料一樣，必需依照創作共享理念授權同意書規範。

常見問答集

下載一門課要多久？
麻省理工開放式課程的.ZIP檔案大小約介於 1MB 到 100MB間，多為 25MB-30MB。下載.ZIP檔案時可能佔用您一些時間，所需時間依您網路的連線速度而定。

為什麼.ZIP檔案裏少了某些課程材料，像是影片課程或模擬媒體？
像是影片、Java Applet等材料，以及一些沒有直接放在「麻省理工開放式課程」伺服主機上的特殊內容，在.ZIP裏亦不直接收錄，而是以連結的形式提供。你可以瀏覽內容網頁來下載這些影音檔案，請閱讀開放式系統說明網頁的我能夠把RealPlayer的影像檔案儲存到我的硬碟嗎？

如果下載課程時發生問題，我該找誰？

請寄信到意見反應信箱或ocw@mit.edu。

留下您對本課程的評論

標籤

現有標籤：1

有關本課程的討論

目前暫無評論，快來留言吧！